دیفرانسیل

Somayeh  gahanshahi                       

 

 

1.تعيين كنيد به ازاي كدام مقادير r e ^rx,  جوابي از معادله ديفرانسيل داده شده است.

y″+ y′=0→

y=e^rx ↔y′=re ^rx, y″=r² * e^{r x}  →

y″+ y′=r²e ^{r x}+ re ^{r x}=(r²+r) e ^{r x}=0

 

  e ^{r x}همواره غير صفر است بنابراين:

(r²+r)=0 → r=0   , r=-1 → y=e^0x=1, y=e^2x

 

 

2.جواب معادله ديفرانسيل y″=2x را پيدا كنيد؟

 

از معادله  y″=2x  دو بار انتگرال ميگيريم   , يعني  :

 

∫y″=∫2xdx↔y′=x²+a

∫y′=∫(x²+a) d x ↔y=(1/3)x³+ax+b

 

3.نشان دهيد كه تابع سمت راست يك خانواده  -2پارامتري از جواب هاي معادله ديفرانسيل سمت راست است.

y″+y′-x²-2x=0   ,    y=a+ be^-x+ (1/3) x3 →  

y′=-be^-x+x²

y″=be^-x+2x

→y″+y′-x²-2x= (be^-x+2x) + (-be^-x+x²)-x²-2x=0

 

 

4.معادله ديفرانسيلي را تعيين كنيد كه خانواده n – پارامتري داده شده جواب آن باشد؟

y=cx+c³ →

فرض ميكنيم كه y′=c    باشد در اين صورت: y=y′x +(y′)³

 

 

5.معادله ديفرانسيلي را پيدا كنيد كه جواب آن عبارت است از: خانواده دايره هايي به شعاع معين  كه مراكزشان بر محور x  واقع باشد؟

(x-a) ²+y²=c²→

 

نسبت به xمشتق ميگيريم 

 

2(x-a)+2yy′=0↔yy′+(x-a)=0→y′=-((x-a)/y)

 

 

6.مسيرهاي متعامد بر خانواده 1- پارامتري منحني هاي y=cx²  را پيدا كنيد ؟

 

y=2cx→y′=2y/x→y′=-x/2y

 

2ydy=-xdx→y²=- (1/2)x²+c→(1/2)x²+y²=c

 

 

7.مسيرهاي متعامد بر همه سهمي هايي را كه راس آن ها بر مبدا و كانون آن ها بر محور x قرار دارد ,  پيدا كنيد؟

 

x=ay²→1=2a*yy′→1=2x/y²*yy′→1=2*x/y²*yy′

 

→1=xy′/y→ y′=y/x→-1/y′=y/x→ y′=-y/x→

 

 yy′=-x→ ydy =xdx→ (1/2) y²=-

 

(1/2) x²+c→x²+y²=2c

 

 

8.مسيرهاي متعامد بر خط هاي مستقيمي كه ضريب زاويه آنها برابر با عرض ار مبدا است , پيدا كنيد؟

 

y=ax+ a→ y′=a→ y′=y/x+1→-1/y′=y/x+1→

 

y′= (-x+1/y) →ydy=-(x+1) dx→ (1/2) y²=-

 

 ((1/2)*x²+x)+c→y²+x²+2x=2c→y²+(x-1) ²=2c-1

 

 

9.معادله زير را حل كنيد؟

 y′=(y+4x-1) ²

y+4x-1=u→y′+4=u′→ y′=u′-4→

u′-4= (u) ²→u′=u²+4      (u′=du/d x)

   

du/u²+4=dx→∫ (1/u²+4) du=∫dx= (1/2) arctan (u/2) = x+c→ (1/ 2) arc tan (y+4x-1)/2=x+c

 

 

10.معادله زير را حل كنيد؟

 

y′=x/y²√1+x²

 

y²d y=(x/√1+x²) d x →∫y²d y =∫(x/√1+x²) d x→

 

y³/3= (√ (1+x²)) +c

 

 

11.نشان دهيد كه تغيير متغير  u=ax+by معادله ديفرانسيل y′=f(ax+ by +c) را به معادله اي جدا شدني تبديل مي كند؟

 

u =ax + by→ (du/dx) = a+ b*(dy/dx) = a+ by′→

  y′= [((d u/dx)-a)*(1/ b)]

 

[((du /dx) - a)*(1/b)] =f (u+c) → (du/dx) =b*f (u+c) + a→ d x= (d u/b*f (u+c) +a)

 

 

12.معادله زير را حل كنيد؟

 

(y ²-1)d x-(2y+xy) d y=0

 

(1/(x+2)) d x- (y / (y²-1)) d y= 0→∫ (1/(x+2)) d x-

∫ (y/ (y²-1)) d y =c →ln│x+2│-(1/2) ln│y²-1│=c

 

y=±1 جواب معادله مي باشد.

 

 

   13.معادله زير را حل كنيد؟

 

(x²+y²-y) d x –(x²+y²-x)=0

(x²+y²) d x-y d x-(x²+y²)d y +x d y=0

 

dx+(x d y-y d x/ x²+y²)-d y=0→

∫d x +∫ d(arc tan y/x)-∫d y =0→x+arc tan( y/x) –y=c

 

14.معادله زير را حل كنيد؟

 

xdy= (x⁵+x³*y²+y) d x=?

 

(x d y-y d x/x²+y²)=x³ d x→

d (arc tan(y/x)) =x³ d x

∫d (arc tan(y/x))=∫x³ d x→ arc tan (y/x)=(x⁴/4)+c

 

 

15.خانواده 1- پارامتري جواب هاي معادله كلرو y=y′ x+ log y′  را پيدا كرده و پوش هاي خانواده جواب ها را مورد بررسي قرار دهيد؟

 

 y=c x+ log c →وx+ f′ (c ) =0

 y=c x +log c و(x+1/ c) =0   c= (-1/ x)

 

 بنابر اين y=-1+log (-1/x) مي با شد كه به ازاي x<0 برقرار است.

از طرفي y= c x+ log cنيز جواب  معادله ديفرانسيل داده شده است.

 

 

16.مرتبه ودرجه معادله زير را مشخص كنيد؟

 

x²(y")⁵-cos x y'+2e^x *y⁷=ln x

 

مرتبه 2  ------درجه 5

 

17.معادله ديفرانسيل  زير داراي جواب زير است؟

 

y'+2y=e ^x

y=c e^-2x+1/3

 

2y=2c e^-2x+2/3e ^x

y'=-2c e^-2x+1/3e ^x

y'+2y=-2c e^-2x+1/3e^x+2c e^-2x+2/3e ^x

y'+2y=e ^x

 

18.جواب عمومي معادله   y' +2y=e ^x به  صورت

y=ce^-2x+1/3e^x است حال اگر شرايط اوليه y(0) =1  را در نظر بگيريم در اينصورت جواب خصوصي آن به صورت زير است؟

1=c e⁰+1/3 e⁰→c=2/3

y=2/3e^-2x+1/3e^x

 

19.معادله زير را حل كنيد؟

 

(1+y²) d x +y x d y =0

y x d y=-(1+y²) d x→1/2∫ y d y/1+y² =∫ -dx/x=

1/2ln (1+y²) =-ln |x| +ln |c|

 ln (1+y²) =2ln |c/x|→1+y²=c²/x²→

y²= ((c²)/(x²))-1→y=±√ (c²-x²)/x²

 

20.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y'=2+y/1-x→d y/d x=2+y/1-x→

d y(1-x)=d x(2+y)→∫ dy/(2+y)=∫ -dx/(1-x)→

ln|2+y|=-ln|1-x|+ln |c|→2+y=c/1-x→y=(c/(1-x))-2

 

21.معادله زير را حل كنيد؟

 

(1+x²) yy'=1+y²

(1+x²) y(d y/d x)=1+y²→∫y d y/1+y²=∫d x/1+x²

ln (1+y²) =2 arctanx+2c→ (1+y²) = e²arctan x→

+2c→y² = (e²arctanx+2c)-1→

y=±√ (e²arc tan x+2c)-1

 

 

22.معادله زير را حل كنيد؟

 

(x+1) yy'= (y²)-1→(x+1) y (d y/d x) = (y²)-1→

∫(y d y/ (y²)-1) =∫ (d x/x+1) →ln ((y²)-1) =

ln c²(x+1) ²→y²=c²((x+1) ²) +1→

y=±√c²((x+1) ²) +1

 

                                                                                                                                                                

23.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y' cot x +y=0                 y(0)=1

 

(1+e^x) y(d y/d x)=e ^x→ ∫y d y=∫e ^x d x/1+e^x→

y²=ln c² (1+e^x) ²→ 1=ln (c² (1+e⁰) ²

c²=e/4------y=ln [e/ (4(1+e^x) ²)] ⁴

 

24.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y'=tan (x+ y)-1→

u'-1=tan u -1→du/ dx=tan u→∫ du /tan u=∫ dx→

 ∫ cotu d u=x+ c→∫ (cos u/sin u) d u=x+ c→

ln |sin(x+ y)|=x+ c

 

 

 25. معادله زير را حل كنيد؟

 

xy'+ y=(x²)*(e ^x) → y'+ (1/x) y=x *e^x→

(x)=e ^{∫p(x) d x} →e^{∫ (1/x)/d x}=x μ

xy=∫ (x²) *(e^x) d x=(x²)*(e ^x)-2xe^x+2e^x+ c

 

26.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y'+2y=(x²) +2x→μ(x) =e^{∫2d x}=e^2x→ (e^2x) y=

∫ (e^2x)*x²+2x*e^2x→∫ (e^2x)*x²+∫ 2x*(e^2x) =

[(x²*2e^2x) - (2x*4e^2x) + (2*8e^2x)] +

[(2x*2e^2x)-(2*4e^2x)]

 

 

27.معادله زير را حل كنيد؟

 

y'=(x/2y) ln y+ y-x →d y /d x=(y/2y)*ln y +y-x→

x'= (2y*ln y/y) +(y/y)-(x/y) →x'+ (1/y)*x=2 lny+1

μ (x) =e^{∫ p(y) d y} =e^{∫ (1/y) d y}=y

xy=∫ (2y* ln y +y) d y = 2y* ln y d y+ (1/2)* y²+ c

 

 

28.معادله ديفرانسيل خانواده يك پارامتري y=c*sin x-xرا بيابيد؟

 

 y=c*sin x-x→ y'=c*cosx-1→y′+1=c*cos x→

c=y'+1/cosx→ y= ((y'+1)*sin x/cos)-x→

y=tan(y'+1)-x

 

29.معادله ديفرانسيل خانواده دو پارامتري زير را بيابيد؟

 

y=a*cos x + b*sin x→ y′=-a*sin x +b*cos x→

y"=-a*cos x-b*sin x → y +y"=0

 

30.معادله ديفرتنسيل خانواده دوپارامتري

 y= (a*e^-x) + (b*e^2x) را بيابيد؟

 

y= (a*e^-x) + (b*e^2x) →y'=(a*e^-x)+(2b*e^2x)→

y"=(a*e^-x)+(4b*e^2x)→y+ y'=3b*e^2x→

y'+ y"=6b*e^2x→y"+y'=2(3b*e^2x)=2(y+ y')

 

 

31.معادله ديفرانسيل خانواده دو پارامتري را بيابيد؟

 

y=ax³+bx⁴→y'=(3x²)*a+(4x³)*b→

y"=6xa+(12x²)*b→((24x⁴)*y)-(6x⁵)*y')+

(x⁶)*y"=0

 

32.مسيرهاي متعامد خانواده y=m x را بيابيد؟

 

y'=m→ y=y' x→ y= (-1/y') x→(y/x) =- (d x/ d y) =

∫ y d y=∫ -x d x→(y ^(2/2)) =-(x ^(2/2)) +c→

(y²)= (-x²) + (2c) →(y²)+(x²) =2c

 

33.مسيرهاي متعامد دسته دايره اي را كه در مبدا مختصات بر محور x  ها  مماس هستند را بيابيد؟

 

x²+(y-c) ²=c²→2x+2(y-c)*y'=0→

y-c= (-2x/2y') =-x/y→ c=y+ x/y'→

x²+x²/y'²=(x+ x/y') ²

 

34. نشان دهيد كه y=e^ix  جوابي از معادله ديفرانسيل

((d²) +1) y=0 است. سپس جواب عمومي معادله ديفرانسيل را پيدا كنيد؟

 

(d²) y+ y=0

d² (e^ix) +e^ix= (i²) e ^ix +e ^ix=-e ^ix +e ^ix=0

→y=a *cosx +b *sin x

 

35.نشان دهيد كهy=e ^(-1+2i)x جوابي از معادله ديفرانسيل    

((d²) +2d+5) y=0   است.سپس جواب عمومي ديفرانسيل را پيدا كنيد؟

dy = (-1+2i)*e ^{(-1+2i) x}, (d²) y= (-1+2i) ² *e ^{(-1+2i) x}

(d²)*y+2 d y +5 y =2(-1+2i) ² *(e ^{(1+2i) x}) +

2= (-1+2i)*(e ^{(-1+2i) x}) +5 *(e ^{(1+2i) x}=

(1-4i-4-2+4i+5) * (e ^{(1+2i) x}=0

y= (e^-x) *cos 2x,   y= (e^-x) sin 2x→

y=e^-x (a*cos2x+b sin 2x)

 

36.با فرض L=(d²)-3d+5  ,  f(x)=e^2x  .  L (f)  را محاسبه كنيد؟

 

L (f(x)) =d² *(e^2x) -3d*(e^2x) +5e^2x=

4e^2x -6e^2x +5e^2x =3e^2x

 

37.لا اقل يك جواب معادله+x² *y"+ y′+ y=0 x³ *y'''

را پيدا كنيد؟

 

L=x³ *d³ +x² * d²+d+1

L (-x) =L(x³*d³+x²*d+d+1) (-x) =

→x³ (-x)'''+x² (-x)"+ (-x)'+1=0+0-1+1=0

 

38. تابع زير مستقل خطي است يا وابسته خطي ,  آن را حل كنيد؟

 

C₁+ ((x²) +1) C₂= 0→x=0→C₁ =0,

x=1→2C₁ +2C₂=0→C₁=0

 

39.در تمرين زير نشان دهيد كه تابع مقابل معادله ديفرانسيل داده شده  ,  جواب عمومي آن معادله است؟

 

y"-y=0   ;  y=C₁+C₂ x+C₃ x²

y'=C₂+2C₃ x →y "=2C₃→y''' =0

 

40.توابع زير مستقل خطي است يا وابسته خطي, آن را حل كنيد؟

 

(cos x)C₁+ (sin x) C₂ =0→x=0→C₁=0, x=п/2→C₂=0

 

 

41. مقدار عبارت زير را حساب  كنيد؟

 

(d² - 4d+2)(x² + x+1)=d² *(x²+x+1)-4d(x²+x+1) +2(x²+x+1) =2-8x-4+2x²+2x+2=2x²-6x

 

42.مقدار عبارت زير را حساب كنيد؟

 

[x² (d² +1) (2e^x)]→

x² (d² *2e^x+2e^x) = x²(2e^x+2e^x) =4x² *e ^x

 

 

43.مقدار عبارت زير را بدست آوريد؟

 

[(x-1) ((d³) + (d²))](e^2x)=(x-1) (d³*e^2x+

d²*e^2x) =(x-1) (8e^2x+4e^2x) =12(x-1) e^2x

 

44.جواب عمومي معادله داده شده را پيدا كنيد؟

 

y''' -4y'=0→ (r³)-4r=0→ r ((r²)-4) =0→

r₁=0   ,   r₂=2   , r₃=-2 →y₁=1, y₂= e^2x, y₃=e^-2x

 

45.جواب عمومي معادله زير چند است؟

 

y"-y'-2y=0→ (r²)-r-2=0→r₁=-1   ,   r₂=2 →

y₁=e^-x   , y₂=e^2x

 

46.توابع زير مستقل خطي است يا وابسته خطي,  آن را حل كنيد؟

 

, e^bx   ;   a ≠ b   e^ax

e ^{ax *} C₁ + e^bx *C₂ =0 →x=0→C₁ +C₂ =0

x=1→e^a *C₁+ e ^b *C₂=0→C₁=C₂=0

 

47.جواب عمومي معادله زير را بيابيد؟

 

4y"-5y'=0→

((4r²)-(5r))=0→r₁=0   , r₂=5/4 →y₁=1, y₂=e ^(5/4) x

 

48.جواب عمومي معادله زير را بدست آوريد؟

 

y"-3y'+2y=0→

[(r²)-(3r) +2]=0→r₁=1, r₂=2 →y₁=x   ,   y₂=e^2x

 

49.معادله زير را حل كنيد؟

 

y"-5y'+6y=0→ (λ²)-(5λ) +6=0→λ=2   , λ=3

y _g =C₁*(e^2x) +C₂*(e^3x)

 

50.معادله زير را حل كنيد؟

 

y"-6y'+9y=0 → (λ²)-(6λ) +9=0→ (λ-3)² =0   , λ=3

y _g=C₁*(e^3x) +C₂*x*(e^3x)

 

51.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y"+2y'+5y=0→λ²+2λ+5=0→λ=-1±2i

y _g=e^-x *(C₁*cos 2x + C₂ *sin 2x)

 

52.معادله زير را حل كنيد؟

 

y''' +2y" +y' =0→λ³+2λ² +λ =0→λ (λ² +2λ +1=0) →

λ=0, λ=-1, y _g=C₁*(e⁰) +C₂*(e^-x) +C₃*(e^-x)*x

 

53.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

x²y"-3xy'+4y=0→y=x ^m→ m (m-1)-3m+4=0→

m=2    ,    y _g=C₁*x² +C₂* x² *ln x

 

54.معادله زير را حل كنيد؟

 

x²y" -xy'+2y=0→y=x ^m→ m (m-1)-m+2=0→

m=1±1i ,

y_g= x^a *(C₁*cos (b*ln x)-C₂*sin (b*ln x) →

x¹ (C₁*cos (ln x) +C₂*sin (ln x)

 

55.با شرط  x>2   . معادله (x-2)²y" +3(x-2)y' -3y=0

را حل كنيد؟

a=1→ λ²+2λ-3=0→ λ=1   ,   λ=-3 

y _g=C₁ (x-2)¹ +C₂ (x-2)^-3

 

56.معادله زير را حل كنيد؟

 

y"+3y'=e ^x -----------a=1

λ²+3λ=0 →λ=0, λ=-3, y _g=C₁*(e^0x) +C₂*(e^-3x)

y_p=A x→ y=A*(e ^x) → y"=A*(e ^x) →

A (e ^x) +3A (e ^x) =e ^x→ A=1/4, y =y_g+ y _p=

C₁+ C₂*(e^-3x) + (1/4) e ^x        

 

57.معادله زير را حل كنيد؟

 

y"+2y'+y=0→λ²+2λ+1=0→λ=-1→y_g =C₁*(e^-x) +

C₂ *(e^-x)* x→

y_p = x^m (ax²+bx+c) →y'_p=2ax+b→y"_p=2a→

2a+4ax+2b+ax²+bx+c=x²+1→ a=1   ,   b=-4,   c=7

y=y_g+ y_p = C₁*(e^-x) + C₂ (e^-x)*x+(x²-4x+7)

 

 

58.معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y'''-y"=12x²+6x→λ³-λ²=0→λ=1, λ=0

y_g= C₁*(e⁰) + C₂*(e⁰)*x+C₃*(e^x)

y_p= x^m (ax²+bx+c) → y_p=x² (ax²+bx+c) →

y'_p=4ax³+3bx²+2cx→ y"_p=24ax+6b

a=-1, b=-5   ,   c=-15   ,   y=y_g +y_p →

C₁+C₂*x+ C₃*e^x – x^4­-5x³-15x²

 

59.نشان دهيد كه اگر z=x+iy  آنگاه e^z=e^x(cos y+i sin y)

 

e^z=e^x+iy= e^x *e ^iy = e^x (cos y+i sin y)

 

 

60.اگرw₁=u₁+iv₁    ,   w₂=u₂+iv₂ دو تابع مختلط مشتق پذير باشند , نشان دهيد كه

 

(w₁+w₂)'=w₁'+w₂'→

(w₁+w₂)'= ((u₁+u₂) +i (v₁+v₂))'= (u₁+u₂)'+ i (v₁+v₂)'

 (u₁'+u₂')+i (v₁'+v₂') = (u₁'+iv₁') + (u₂'+iv₂')

 

61.تابع نمايي را به صورت تابع مثلثاتي  بيان كنيد؟

 

e^-2ix→

e ^{i (-2x)} =cos (-2x) +i sin (-2x) = cos (2x)-i sin (2x)

 

62.تابع مثلثاتي داده شده را به صورت تابع  نمايي بنويسيد؟

 

cos 3x→

 e^3ix= cos 3x+ i sin 3x, e^-3ix= cos 3x- i sin 3x→

                       cos 3x= (1/2)*(e^3ix + e^-3ix)

 

63.نشان دهيد كه e^ix  y= جوابي ازمعادله ديفرانسيل  (d²+1)y=0

است.سپس جواب عمومي معادله ديفرانسيل را پيدا كنيد؟

 

(d²+1) y=0→

d²(e^ix) + e^ix = i²* e^ix+ e^ix=- e^ix+ e^ix=0→

y=C₁*cosx+C₂*sinx

 

64.جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

 

6y"-11y'+4y=0→6r²-11r+4­=0→

r₁=­4/3, r₂=1/2 → r₁=C₁*e ^{(4­­/3) x}+ C₂*e ^{(1/2) x}

 

65. جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

y"+2y'-y=0→    

r²+2r-1=0→ r₁=-1+√2   ,   r₂=-1-√2    

y=C₁*e ^{(-1+√2) x} + C₂*e ^{(-1-√2) x}      

 

 

66.جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

 

 

y"+4y'+4y=0→ r²+4r+4=0→(r+2)²=0→

r₁=r₂=-2,     y=C₁*e^-2x +C₂*x*e^-2x

 

 

67. .جواب معادله ديفرانسيل زير را پيدا كنيد؟

 

y^(4­)-a²y=0   ,    a>0

r^4­-a²=0→ (r²-a) (r²+a) =0→  

r₁=√a    ,   r₂= -√a    ,   r₃=√ai    ,  r­₄=-√ai 

y=C₁*e^√ax + C₂*e^-√ax+ C₃*cos√ax+ C₄*sin√ax

 

 

68. جواب معادله ديفرانسيل زير را پيدا كنيد؟

 

 

y'''-4y"+y'+6y=0→r³-4r²+r+6=0→

(r+1)(r-2)(r-3)=0, r₁=-1, r₂=2   , r₃=3    

y= C₁*e^-x + C₂*e^2x+ C₃*e^3x   

 

 

69. جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

y⁽⁵⁾-2y'''+ y'=0 → r⁵+2r³+r =0→r (r⁴+2r²+1) =0→

r ((r²+1)² =0→ r₁=0   ,   r₂=r₃=i    , r­₄=r₅=-i

y=C₁*e^0x+ C₂*cosx+C₃*x*cosx+C­₄*sinx+C₅*x*sinx

 

 

70. جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

 

 

y ⁽⁴⁾ +4y''' =0 → r⁴+4r² =0→r² (r²+4) =0→

r₁=r₂=0, r₃=2i, r­­₄=-2i,

y= C₁*e^0x+ C₂*x*e^0x+C₃*cos2x+C₄*sin2x

 

 

71. جواب معادله ديفرانسيل زير را پيدا كنيد؟

 

y"-4y'+20y=0→ r²-4r+20=0→r₁=2+2i, r₂=2-2i

y= x^2x (C₁*cos2x +C­₂*sin2x)

 

72. معادله ديفرانسيلي با ضرايب ثابت , با كمترين مرتبه ممكن ,  به قسمي پيدا كنيد كه تابع داده شده زير يك جواب آن باشد؟

 

x-e^3x →

y= x-e^3x, y'= 1-3e^3x, y"=-9e^3x→ y"-3y'+3=0

 

73.در تمرين زير,  جواب معادله ديفرانسيل داده شده را بنويسيد؟

 

x²y"+xy'-p²y=0→r(r-1) +r-p²=0→ r²- p²=0→

r₁=p, r₂=-p,   y=C₁*x^p+ C₂*x^-p

 

74.معادله زير را حل كنيد؟

 

(d²+5d-1) (tan2x-(3/x)) →

d² (tan2x-(3/x)) +d (tan2x-(3/x)) + (tan2x-(3/x)) =

(4tan2x) (2+2tan²(2x)) - (6/x³) + (2+2tan²(2x)) +

(tan2x-(3/x))

 

 

75.جواب عمومي معادله زير را بنويسيد؟

 

2x²y"+xy'-y=0→2r(r-1) +r-1=0→(r-1) (2r+1) =0→

r₁=1, r₂=-1/2, y= C₁*x+ C₂*x^-1/2

 

 

76.معادله زير را حل كنيد؟

 

x²y"-3xy'+13y=0→d (d-1)-3d+13=0→

r(r-1)-3r+13=0→r₁=2+3i, r₂=2-3i→

y₁=x² *[C₁*cos (3lnx) + C₂*sin (3lnx)]

 

 

77.معادله ديفرانسيلي خطي با ضرايب ثابت را به قسمي پيدا كنيد

كه داراي كمترين مرتبه ممكن بوده و تابع داده شده يك جواب آن باشد؟

 

x*cos2x→y= x*cos2x→

 y'=e^xsin3x+3e^xcos3x, y"=6ex cos3x-8e^x sin3x   

 

78.جواب عمومي معادله ديفرانسيل زير را پيدا كنيد؟

 

 

y"-3y'+2y=0→ r²-3r+2=0→r₁=1, r₂=2→

y_h=C₁*e^x+ C₂*e^2x

 

79.معادله ديفرانسيل غيرهمگن زير را حل كنيد؟

 

y"+3y'+2y=4→ r²+3r+2=0 →r₁=-1, r₂=-2→

y_h =C₁*e^-x+ C₂*e^-2x    

y_p =A    ,    y_p=2, y= C₁*e^-x+ C₂*e^-2x +2 

 

80 .معادله ديفرانسيل غيرهمگن زير را حل كنيد؟

 

y"+2y'+y=x²*e^-x→ r²+2r+1=0→r₁=r₂=-1→

y_h =C₁*e^-x+ C₂*x*e^-x 

y_p=x²(A₀+A₁x+A₂x²) e^-x

 

81. گاما زير را حساب كنيد؟

 

Γ(7/2) →

Γ (7/2) = (5/2) Γ (5/2) = (5/2)*(3/2) Γ (3/2) =

(15/4)*(1/2) Γ (1/2) = (15/8) √л 

 

82.مقدار تابع فاكتوريل زير را حساب كنيد؟

 

(-5/2)! → (-5/2)! = Γ ((-5/2) +1) = Γ (-3/2) = (4/3) √л  

83.تبديل لاپلاس داده شده fداده شده را محاسبه كنيد؟

 

f (t) =t²→

L (t²) = [(Γ (3))/s³] = (2! / s³) = (2/ s³)

 

84.تابعي را پيدا كنيدكه تبديل لاپلاس آن تابع داده شده f باشد؟

 

f (s) =(1/s+3)   → L^-1[1/(s-(-3))] =e ^-3t

 

85.تابع داده شده را محاسبه كنيد؟

 

 

f (t) =2t²-3t+4→

L [2t²-3t+4] = 2L [t²] -3L[t] +4L [1] =

­­­ (4/s³) – (3/ s²) +­ (4/s)

 

86.لاپلاس تابع g(t)=e^-2t * sin 5t   را پيدا كنيد؟

 

L (sin 5t) =5/ (s2+25) =f(s) →

L (e^-2t * sin 5t) =f(s+2) = 5/ ((s+2)²+25)

 

87.تبديل لاپلاس تابع t² *sin at    را كه در آن a  عددي ثابت است پيدا كنيد؟

 

L [t² *sin at] = (L [sin at])"= (a/ (s²+a²))"=

(a (6s²-2a²)/ (s²+a²))

 

88.اگر(s)=f(s) [ L[f ,  تبديل لاپلاس تابع f ^(­4) را بر حسب f  وبافرض (0)=0 f (0)=f ' ,   f "(0)=1 ,    (0)=-1  f '''به دست آوريد؟

 

L [f^{­ (­4)} (t)] = s⁴*L [f (t)] -s³ *f (0)-s² *f '(0)-s*f "(0)-f'''(0) = s⁴*f(s)-s+1

 

 

89.تبديل لاپلاس تابع زير را پيدا كنيد؟

 

f (t) =t² *sin kt→

L [t² *sin kt] = (L [sin kt])"= (k/ (s² +k²))"

 

90.تبديل معكوس هر يك از توابع داده شده پيدا كنيد؟

 

[3/s)- ((4*e^-s)/s²] + [(4*e^-3s)/s²] →

f (t) =L^-1[f(s)] =3-4u₁ (t) (t-1) +4u₃ (t) (t-3)

 

 

91.عامل انتگرالسازي را در معادله  زير پيدا كنيد؟

 

 

(e^x –sin y) dx+ cos ydy=0→

M(x, y) = e^x –sin y   , N(x, y) =cos y →

M/∂y) = -cos y   , (∂N/∂x) =0 →  ∂ (

[((∂M/∂y) - (∂N/∂x))/N]= (-cos y/cos y) =-1

ρ(x) =e^-∫dx =e^-x

 

 

92.معادله ديفرانسيلي را تعيين كنيد كه خانواده –n  پارامتري داده شده جواب آن باشد؟

 

 

y=C₁*cos3x+C₂*sin3x→

y'=-3C₁*sin3x+3C₂*cos3x→

y"=-9C₁*cos 3x+C₂*sin 3x→ y"+9y=0 

 

 

93.معادله ديفرانسيلي را پيدا كنيد كه مركزشان بر محور x واقع باشد؟

 

خانواده دايره هايي به مركز (h,k) وشعاع معين .

 

(x-h) ²+(y-k) ²=c² →

2(x-h) +2y'(y-k) =0 → y'= - ((x-h) /(y-h))

 

 

94.معادله زير را حل كنيد؟

 

 

xy'=y+x*sec (y/x) →

y'=(y/x) +sec (y/x) = xu'+u = u+sec u→

x*(du /dx) =sec u→∫ (du/sec u) =∫ (dx/x) →

∫ cos u du=ln cx → sin u=ln cx→ sin(y/x) =ln cx

 

 

95.مسير قائم دسته منحني زير را بنويسيد؟

 

 

x²+y²=c→2x-2yy'=0→2x=2yy'→x=yy'→x=y*(-1/y')

→xy'=-y→ x*(dy/dx) =-y→∫ (dy/y) =∫- (dx/x) =

ln y=ln(c/x) =y=(c/x)

 

 

96.جواب عمومي معادله 2x(y+1)dx-y dy =0 را با مقدار اوليه   y(0)=2  بيابيد؟

 

 

 ((ydy)/(y+1))=∫ 2x dx→y-ln| y+1| =x²+c→ ∫

-2-ln (1) =c →   c=-2 → x²= y-ln| y+1| +2

 

 

97. معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد؟

 

y ^(­4) +18y"+81y=0→λ­^""+18λ²+81=0→

(λ²+9)²=0→λ²=-9=i²   →λ=±i →α=0, β=3

y₁=cos3x   ,   y₂=sin3x   , y₃=x*cos3x   ,   y₄=x*sin3x

y_g=C₁*cos3x +C₂* sin3x +C₃*x*cos3x +C₄*x*sin3x

 

 

98.معادله زير را حل كنيد؟

 

x²y"-3xy'+3y=0→

a=1   ,   b=-3   ,   c=3   →   r²+ (-3-1) r+3=0 →

r²-4r+3=0 →(r-1) (r-3) =0→ r₁=1   , r₂=3

y₁=x   ,   y₂=x³   → y_g=C₁*x +C₂*x³

 

99.جواب عمومي معادلات زير را بيابيد؟

 

y"+4y=(x+1)*cos 2x+x²*sin2x→

λ²+4­=0→λ²=-4→λ=±2i

y_p= x [(A₀+A₁*x¹+A₂*x²)*cos 2x+

B₀+B₁*x¹+B₂*x²)*sin 2x]

 

 

100. تبديل معكوس لاپلاس زير را بنويسيد؟

 

L^-1[(s²-1)/(s (s²+1))] →

[(s²-1)/(s (s²+1))]= [(s²+1-2)/(s (s²+1))] =

[(s²+1)/(s (s²+1))]- [2/(s (s²+1))] = [1/s]-[2/s (s²+1)] = [1/s]-2[(1/s) –(s/ (s²+1))] = (-1/s) +(s/ s²+1) →

L^-1[((A₁)/(s)) + ((A₂ s)/ (s²+1)) + (A₃)/ (s²+1))]

=A₁+A₂*cost+A₃*sint     

 

 

 

100 سوال ديفرانسيل با جواب تشريحي

نوشته شده توسط سميه جهانشاهي

دانشجوي مهندسي كامپيوتر(نرم افزار)